Permutasyon - 2

Permutasyon - 2

Günümüzde bankacılık, alışveriş, e-posta gibi birçok uygulamada şifre kullanımı, güvenliğin sağlanabilmesi için gerekmektedir. Rastgele harf ve rakamlardan oluşturulabilecek şifrelemeler bu nedenle oldukça önemlidir. Bu durumda belli harf ve rakamlar ne kadar fazla şekilde sıralanabiliyorlarsa, oluşturulan şifrenin kırılması o kadar zor olur. Sayma eşleştirme, toplama ve çarpma yoluyla yapılabiliyordu. Peki, harf ya da rakamların sıralanmasıyla oluşturulabilecek durumların toplamının belirlenmesi için nasıl bir yöntem kullanılmalıdır? Basitten başlayarak ekranda 2 tane harf vardır. Bunları kaç şekilde sıralayacağımızı bulalım aynı zamanda da genel kuralı oluşturmaya çalışalım. Her seferinde sol başa kaç ifade koyacağımıza ve geriye kalanların ne kadar sıralanabileceğine dikkat edeceğiz. Önce başa “B” harfini yazalım. Geriye sadece bir tane harf kaldı. Geriye kalan harfin sıralanmasına imkân olmadığı için 1 sayıda sıralandığı kabul edilir. Sol başa “A” harfini getirdiğimizde geriye “B” harfi kaldı. Geriye kalan “B” harfinin kendi kendine sıralanmasına imkân olmadığı için 1 şekilde sıralandığı kabul edilir. O hâlde başa hangi harfi alırsak alalım geriye kalan harf 1 şekilde sıralanıyor. Elimizde iki tane harf olduğundan başa almak için 2 seçeneğimiz var. Her seferinde geriye kalan harf sayısı 1 olduğundan sıralamayı etkilemeyecektir. Sıralama sayısını bulurken çarpma yoluyla sayma yöntemini kullanacağız. Başa iki ifade gelebiliyordu geriye kalan ifade sayısı da 1 olduğundan, sıralama sayısı 2 çarpı 1 ile bulunur. Şimdide bu iki harfin yanına bir başkasının geldiğini düşünelim. Sıralamaların toplam sayısı için bir genelleme bulmaya çalıştığımız için sistematik bir şekilde sayalım. Her seferinde birini başa alıp, diğer ikisinin sıralamasını oluşturarak bir kenara alacağız. Önce “A” harfi başa alınır. Geriye kalan iki harf iki farklı şekilde sıralanabilir. O halde hangi ifadeyi başa alırsak diğer ikisi 2 farklı şekilde sıralanacağından, toplam sıralama sayısı başa kaç tane harf alınabileceği ile ilgili olur. Burada toplam sıralama sayısını, çarpma yoluyla bulabiliriz. Başa 3 tane ifadenin alınabildiği, geriye kalan diğer iki ifadenin de 2 farklı şekilde sıralandığını gözlemlediğimize göre, 3.2.1 = 6 sonucuna ulaşırız. Bu harflerin yanına D harfini ekliyoruz. Genelleme bulmaya çalıştığımızdan yine başa aldığımız harfi sabit tutarak, diğerlerinin sıralamalarını değiştirelim. Örneğin “D” harfini başa alırsak geriye sıralaması yapılmak üzere 3 harf kalır. Üç harfin 3 çarpı 2 çarpı 1 eşittir 6 şekilde sıralandığını hesaplamıştık. Ekranda da gördüğümüz gibi başa alacağımız her harf için 6 farklı sıralama oluyor. Bu durumda toplam sıralama sayısı 4.3.2.1=4! olacaktır. Bazen de belli sayıda ifadenin bir kısmını seçip sıralamak gerekir. Seçtiğimiz ifadelerin tüm sıralanma içindeki yerlerine bakacağız. Örneğin 4 ifaden 2 tanesini seçip sıralayacağımızı düşünelim. Seçtiğimiz iki ifade için DA sıralanmasını ele aldığımızda geriye kalan B ve C ifadeleri 2! Şeklinde sıralanmaktadır. Ancak biz iki tane ifade seçip onların sıralamasına baktığımızdan geriye kalan ifadelerin sıralamalarını genel sıralamada sadeleştirmemiz gerekmektedir. Ekranda soldan ilk iki ifadeye dikkat ettiğimizde bunlardan ikişer tane olduğunu görüyoruz. Bu fazlalık, geriye kalan ifadelerin sıralamalarından kaynaklanmaktadır. O halde bunları 4 ifadenin sıralama sayısından sadeleştirmemiz gerekir. 4 faktöriyel bölü 2 faktöriyel işleminin sonucu 4 taneden seçilen 2 ifadenin kaç farklı şekilde sıralanabileceğini ifade eder. Bu halde n sayıda ifadeden seçilen r tane elemanın kaç şekilde sıralanabileceğini bulmak için, n sayıda elemanın toplam sıralanış sayısı olan n!‘i, geriye kalan elemanların sıralanışı olan (n-r)! ‘e bölmek gerekir. Bunun matematiksel genelleştirilmesi ekranda görüldüğü gibidir.
qr
İNDİR:
KANALI: Lise Matematik
PAYLAŞ:

    Yorum yapabilmek için giriş yapmış olmanız gerekmektedir.