Permütasyon - 3

Permütasyon - 3

Dönel Permütasyon yuvarlak bir masa etrafında sıralanma ile ilgilidir. Peki yan yana duran kişilerin sıralanmaları ile yuvarlak bir masa etrafında sıralanma arasında nasıl bir ilişki vardır? Bunu örnek olarak aldığımız 5 kişi üzerinde inceleyelim. Bir sınıftaki 5 kişi, bir konuyu tartışmak için, hepsi birbirini görecek şekilde masalarını ekranda görülen şekle getirmişlerdir. Aralarından “d” kişisi lavaboya gitmek üzere diğerlerinden izin ister. d’ nin sırası boşken “c” kişisi “e” kişisine yakın olmak üzere yerinden kalkar ve d’ nin yerine oturur. “d” lavabodan geldiğinde yerinde c’ nin oturduğunu görür, c’ nin kalkmasına izin vermeyerek o da c’ nin yerine oturur. Bu şekilde masa etrafındaki kişilerin sıralanmaları değişmiş oldu. Sizce bu iki masadaki insanların sıralanmaları birbiriyle aynı mıdır? Dikkatlice baktığımızda saat yönüne doğru, masa etrafında sıralanmalarında herhangi bir fark bulunmamaktadır. Gördüğünüz gibi iki sıralanmanın biri saat yönünde, diğeri de saat yönünün tersi yönde gerçekleşmiş durumdadır. Peki, bu sıralanmaları aynı mı kabul edeceğiz. Bu durumu yan yana sıralanmadan çıkarım yaparak bulabiliriz. Yan yana sıralanmada soldan sağa ve sağdan sola yazdığımız birbirinden farklı şeylerdir. Benzer şekilde dönel sıralanmalarda saat yönü ve tersi sıralanmalar birbirinden farklıdırlar. Yuvarlak masa insanların hepsinin birbirini görerek tartışmalarına olanak tanır ancak hepsi bir şey izlemesi gerektiğinde masaları tek bir sıra hâline getirmeleri gerekir. Her seferinde başka bir aradan olmak üzere, ilk olarak okla belirtilen yerden “E” ile “A” arasından ayrıştıralım. Gördüğünüz gibi ABCDE Sıralaması oluşur. Masayı “D” ve “E” arasından ayrıştırıp, düz hâle getirdiğimizde görüldüğü gibi EABCD sıralaması oluştu. Ayrıştırdığımız yerleri her seferinde değiştirerek sıralamaları bulmaya devam edelim. “D” ve “C” arasından ayrıştırdığımızda bulduğumuz sıralama DEABC sıralamasıdır. “C” ve “B” arasından ayrıştırdığımızda CDEAB sıralamasını elde ediyoruz. Son olarak “A” ile “B” arasından ayrıştırdığımızda BCDEA sıralamasını elde ediyoruz. Ekranda 5 elemanlı bir dönel sıralamadan bulduğumuz, yan yana sıralamalar görülmektedir. Birbirinden farklı olan bu beş sıralama, dikkat edilirse aynı dönel sıralamadan oluşmaktadır, buradan hareketle şu genellemeye varabiliriz. O halde, tüm dönel sıralamaların sayısı, yan yana iken tüm permütasyonlarının sayısının, eleman sayısına bölünmesiyle bulunur. Sonuç olarak, belli sayıda elemanın dönel permütasyonlarının sayısı, eleman sayılarının bir eksiğinin faktöriyeli ile bulur. Beş kişinin yan yana permütasyonlarının sayısı 5! İle bulunuyordu. Ancak örnekte görüldüğü gibi bu sıralamaların her 5 tanesi aynı dönel sıralama olduğundan, 5 faktöriyel sayısını 5 sayısı ile bölmek gerekir. Yani sonucumuz 4 faktöriyel olarak bulunur.
qr
İNDİR:
KANALI: Lise Matematik
PAYLAŞ: